メモ

確率過程は右連続で、フィルトレーションはusual conditonを仮定する。

確率過程Xが、局所劣マルチンゲールとなる必要十分条件は、局所マルチンゲールと予測可能increasing過程(locally integrable?)の和に分解できること。特に、この分解は一意的である。

classDLの劣マルチンゲールに対して、マルチンゲールとnatural increasing過程の和に分解できる。
classDの劣マルチンゲールに対して、一様可積分マルチンゲールとnatural integrable increasing過程の和に分解できる。特に、これらの分解は一意的である。

注.　任意のnaturalな過程(integrable?)は、予測可能である。したがって、より限定された分解になっている。逆は一般には言えないが、integrableかつpredictableなincreasing過程は、naturalである。

有界停止時刻→有限停止時刻→停止時刻、classDL←classD　任意のマルチンゲールはclassDLに属する。
integrableの定義は、「各tについて期待値が有限」なのか、「極限が存在して、期待値が有限」なのか？前者はIkeda-Watanabeで採用しているが、それに関連してところどころ、怪しい主張がある。

例えば、必要ならば局所化してintegrableを確保して、natural increasing processはpredictableであるから、その和もpredictable(？)で、原点を出発する予測可能有界変動局所マルチンゲールは０だけなので、一意性がいえるみたいな。

Foundations of Modern Probability (Probability and Its Applications)