メモ

Lévy's characterization of Brownian Motionの証明の途中で疑問があったらしい。連続局所マルチンゲールで、その二次変分がtで与えられるとき、このprocessは二乗可積分マルチンゲールになるという部分。

二乗可積分であることは、二次変分が任意の時点で有限であることから明らか。したがって、マルチンゲールであることを示せばよい。

今、processが連続局所マルチンゲールであることから、適当な停止時刻に対するstopped processは、連続マルチンゲールとなる。したがって、このprocessはclass DLとなる。これより任意の有界停止時刻で添字つけた族が、一様可積分性を満たす。各時点tを固定した時、局所マルチンゲール性から存在がいえるstopping timeの増大列に対するstopped process(正確には確率変数)の族を考えると、上の結果より一様可積分性がいえる。したがって、nを無限大にした時、processの連続性から概収束極限が存在し、一様可積分よりL1収束も成立する。したがって、stopped processにおいてはマルチンゲールがあるので、両辺nについて極限を取ると、もとのprocessについてもマルチンゲールであることが言える。

ところがこれだと、連続局所マルチンゲールはマルチンゲールであることが言えてしまう。からしゅれのp.36のremarkに反例らしきものが存在することが示唆されているのでだめっぽい。

あと確率過程に対する二乗可積分という性質は、からしゅれとRevuz and Yor, Jacod and Shiryaevで定義が違っているのに気がついた。後者の定義だと、ブラウン運動は二乗可積分ではなくなってしまうので、有限区間で考えるとか局所化するなどの方法をとっている。

上の結果から一様可積分は言えなかった、どうすればいいんだろう。

結局、有限空間で考えれば十分だった。［0,∞)区間だと、L^2有界が必要で、それだと一様可積分性が成立するのでOK。